สารานุกรมไทย
สำหรับเยาวชน เมนู 6
เล่มที่ ๖
เรื่องที่ ๑ คณิตศาสตร์เบื้องต้น
เรื่องที่ ๒ ประวัติ และพัฒนาการเกี่ยวกับจำนวน
เรื่องที่ ๓ เซต
เรื่องที่ ๔ ตรรกวิทยา
เรื่องที่ ๕ ฟังก์ชัน
เรื่องที่ ๖ สมการ และอสมการ
เรื่องที่ ๗ จุด เส้น และผิวโค้ง
เรื่องที่ ๘ ระยะทาง
เรื่องที่ ๙ พื้นที่
เรื่องที่ ๑๐ ปริมาตร
เรื่องที่ ๑๑ สถิติ
เรื่องที่ ๑๒ ความน่าจะเป็น
เรื่องที่ ๑๓ เมตริก
เรื่องที่ ๑๔ กราฟ
เรื่องที่ ๑๕ คณิตศาสตร์ ธรรมชาติ และศิลปะ
รายชื่อผู้เขียน

สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ / เล่มที่ ๖ / จุด เส้นและผิวโค้ง / การเคลื่อนที่ของจุดซึ่งอยู่บนวงกลม

การเคลื่อนที่ของจุดซึ่งอยู่บนวงกลม
การเคลื่อนที่ของจุดซึ่งอยู่บนวงกลม

ถ้าเราทำเครื่องหมายไว้แห่งหนึ่งบนขอบนอกของล้อรถ เช่น ล้อรถจักรยาน เมื่อรถวิ่งไปบนพื้นราบ เราจะสังเกตเห็นว่า เครื่องหมายที่ทำไว้นั้น ก็จะเคลื่อนที่ไปด้วย เมื่อตรวจสอบทางเดินของเครื่องหมายที่ทำไว้จะเห็นว่า เป็นเส้นโค้งชนิดหนึ่ง ในทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งนี้ว่า ไซคลอยด์ (cycloid) มีลักษณะคล้ายคลื่น ฉะนั้นไซคลอยด์ก็คือ ทางเดินของจุดๆ หนึ่งบนวงกลมที่กลิ้งไปบนเส้นตรง
ไซคลอยด์
ถ้าหงายเส้นโค้งไซคลอยด์ลง และให้ M เป็นจุดต่ำที่สุดของเส้นโค้งนี้ คุณสมบัติพิเศษของไซคลอยด์ก็คือ เมื่อเอาลูกบอลวางไว้ที่จุด P ซึ่งอยู่ที่ส่วน ใดๆ ของเส้นโค้งนี้ก็ตาม เมื่อปล่อยลูกบอลให้กลิ้งลงมาตามเส้นโค้ง ลูกบอล จะมาถึงจุด M ในเวลาเท่ากันหมด
ไซคลอยด์
ท่านอาจจะลองคิดต่อไปว่า ถ้า P1 เป็นจุดๆ หนึ่งบนรัศมี OP เมื่อวง กลมกลิ้งไปบนเส้นตรง ทางเดินของจุด P1 จะมีลักษณะอย่างไร ถ้า P2 เป็นจุดๆ หนึ่งบนรัศมี OP ที่ต่อออกไป ทางเดินของจุด P2 จะเป็นอย่างไรเมื่อกลิ้งวงกลม ไปบนเส้นตรง
ทดลองโดยเอาเหรียญบาทมาสองอัน วางเหรียญหนึ่งไว้ให้อยู่กับที่ ทำเครื่องหมายไว้หนึ่งแห่งที่ขอบของเหรียญที่สอง แล้วค่อยๆ กลิ้งเหรียญที่สอง รอบเหรียญที่วางไว้อยู่กับที่จนรอบ ทางเดินของเครื่องหมายบนขอบเหรียญที่สอง จะเป็นเส้นโค้งมีลักษณะ (ดังรูป) ดูคล้ายกับรูปหัวใจ ทางคณิตศาสตร์เรียกเส้น โค้งชนิดนี้ว่า คาร์ดีออยด์ (cardioid) ซึ่งเป็นทางเดินของจุดๆ หนึ่งบนวงกลมที่ กลิ้งรอบวงกลมที่อยู่กับที่อีกวงหนึ่ง
คราวนี้ลองให้วงกลมที่กลิ้งไปนั้น มีรัศมีน้อยกว่ารัศมีของวงกลมที่อยู่กับที่ จุดที่ทำเครื่องหมายบนวงกลมวงนอก จะอยู่บนวงกลมวงในมากกว่าหนึ่งแห่ง ทำให้ทางเดินเป็นส่วนโค้ง (arch) มากกว่าหนึ่งส่วน เช่น ถ้าวงกลมวงนอกมีรัศมี เท่ากับครึ่งหนึ่งของรัศมีของวงกลมวงใน จะได้เส้นโค้งเป็นส่วนโค้งสองส่วน ถ้าวงกลมวงนอกมีรัศมีเพียงเศษหนึ่งส่วน n ของรัศมีวงกลมวงใน ก็จะได้ส่วนโค้ง n ส่วนรอบวงกลมวงใน เราเรียกเส้นโค้งชนิดนี้ว่า เอพิไซคลอยด์ (Epicycloid) เส้นโค้งคาร์ดิออยด์เป็นกรณีเฉพาะ ของเส้นโค้งเอพิไซคลอยด์
ถ้าเอาวงกลมเล็กไปกลิ้งภายในวงกลมใหญ่ซึ่งอยู่กับที่ จุดที่อยู่บนวงกลมเล็กจุดหนึ่ง ก็จะขีดเส้นโค้งขึ้นภายในวงกลมใหญ่ เราเรียกทางเดินของจุดเช่นนี้ว่า ไฮโพไซคลอยด์ (Hypocycloid) จำนวนเส้นโค้งภายในวงกลมใหญ่จะมี n ส่วนโค้ง เมื่อวงกลมใหญ่มีรัศมีเป็น n เท่าของรัศมีวงกลมเล็ก
ท่านอาจจะลองเขียนเส้นโค้งไฮโพไซคลอยด์ เมื่อวงกลมใหญ่มีรัศมีเป็นสองเท่า และสามเท่าของวงกลมเล็กดูบ้างว่า เส้นโค้งมีลักษณะอย่างไร การเขียนเส้นโค้งโดยใช้เส้นรังสีและมุม เขียนวงกลมรัศมี 2 1/4 นิ้ว จากจุดศูนย์ กลางเขียนเส้นรังสี 18 เส้นให้ทำมุมเท่ากับ 20 องศาเท่าๆ กันโดยใช้ไม้โพรแทรกเตอร์ (ไม้ที่มีสเกลแบ่งมุม) ให้ตัวเลขรังสีเริ่มจาก 0 ถึง 17 แล้วต่อไปเป็น 18, 19, 20,...ตามรูป กำหนดจุดบนเส้นรังสีเหล่านี้ จุดแรกบนรังสีที่หนึ่งอยู่ห่าง จากจุดศูนย์กลาง 1/8 นิ้ว จุดที่สองบนรังสีที่สองอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 2/8 นิ้ว จุดที่สามบนรังสีที่สามอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 3/8 นิ้ว ทำเช่นนี้ไปจนถึงรังสีที่ 18 จุดจะอยู่บนวงกลมพอดี ถ้าทำต่อไปโดยให้ความยาวของรังสีเพิ่มขึ้นครั้งละ 1/8 นิ้ว แล้วโยงจุดเหล่านี้เข้าด้วยกัน จะได้เส้นโค้งเป็น รูปก้นหอย (spiral)




จุดต่างๆ บนเส้นโค้งก้นหอยสร้างจากหลักเกณฑ์ "ความยาวของรังสี OP เป็นปฏิภาคโดยตรงกับขนาดของมุมที่ OP ทำกับเส้น OX" เขียนเป็นสมการดังนี้



เมื่อ a เป็นค่าคงที่ เราเรียกเส้นโค้งแบบนี้ว่า เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส (Spiral of Archimedes)

ถ้าลองกลับไปดูความยาวของเส้นรังสี ที่วัดจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดบน เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส จะเห็นว่า ความยาวจะเพิ่มขึ้นเป็นความก้าวหน้า เลขคณิต ดังนี้



เราอาจจะสร้างเส้นโค้งก้นหอยอีกแบบหนึ่ง ให้ความยาวของรังสีค่อยๆ เพิ่มขึ้นแบบความก้าวหน้าเรขาคณิตก็ได้ เมื่อมุมของรังสีเท่ากันหมดที่จุดศูนย์ กลาง เส้นโค้งก้นหอยที่น่าสนใจแบบหนึ่งมีความยาวของรังสีที่อยู่ห่างกัน 12 พจน์ เป็น 2 เท่ากัน กล่าวคือ ถ้าความยาวของรังสีเรียงตามลำดับแบบความก้าวหน้า เรขาคณิต

r, r2, r3,...rn,...

เมื่อแทนรังสีที่ n ด้วย rn ดังนั้น rn = rn จะได้
rn + 12 = 2rn หรือ rn+12 = 2rn

ดังนั้น
 r12 = 2 หรือ r = 1.0595

แบ่งมุมรอบจุด O ออกเป็น 24 ส่วนเท่าๆ กันโดยเส้นรังสี Oa, Ob, Oc, B, C,...บนเส้นรังสี Oa, Ob, Oc,...ดังต่อไปนี้
จุด A อยู่บน Oa ให้ OA = 1.00 หน่วย
     B    "     Ob  "   OB = 1.06 "
     C    "     Oc  "   OC = 1.12 "
     D    "    Od   "  OD = 1.19 "
     E    "    Oe   "  OE = 1.26 "  
     F    "    Of    "  OF = 1.33 "
     G   "    Og   " OG = 1.41 "
     H   "    Oh   " OH = 1.50 "
      I    "    Oi    " OI = 1.59 "
     J " Oj " OJ = 1.68 "
     K " Ok " OK = 1.78 "
     L " Ol " OL = 1.89 "
    M " Om " OM = 2.00 "
    N " On " ON = 2.12 "
    P " Op " OP = 2.24 "
    Q " Oq " OQ = 2.38 "
    R " Or " OR = 2.52 "
    S " Os " OS = 2.66 "
    T " Ot " OT = 2.83 "
   U " Ou " OU = 3.00 "
   V " Ov " OV = 3.17 "
  W " Ow " OW = 3.36 "
  X " Ox " OX = 3.56 "
  Y " Oy " OY = 3.77 "
A' " Oa " OA' = 4.00 "
B' " Ob " OB' = 4.24 "
C' " Oc " OC' = 4.49 "

จากการสังเกตจะเห็นว่า
OA' = 4 OA
OB' = 4 OB
OC' = 4 OC
...................
OA" = 4 OA' = 16 OA
OB" = 4 OB' = 16 OB
OC" = 4 OC' = 16 OC
เส้นโค้งก้นหอยแบบนี้มีคุณสมบัติพิเศษประการหนึ่งคือ เส้นรังสีและเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งจะทำมุมเท่ากันหมด ตลอดทุกจุดบนเส้นโค้ง นักคณิตศาสตร์เรียก เส้นโค้งแบบนี้ว่า เส้นโค้งก้นหอยแบบมีมุมเท่ากัน (equiangular spiral) หรือเรียกว่า เส้นโค้งก้นหอยแบบลอการิทึม (logarithmic sprial) และมีสมการทางคณิต ศาสตร์ ดังนี้


ท่านอาจจะเขียนเส้นโค้งแบบก้นหอยแบบมีมุมเท่ากัน โดยใช้ไม้บรรทัด และวงเวียนเท่านั้นก็ได้ โดยดำเนินการตามลำดับดังนี้
  1. สร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก ข ค ง ให้ด้าน ก ข ยาว 13 เซนติเมตร ด้าน ข ค ยาว 21 เซนติเมตร
  2. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จ ฉ ค ง ยาวด้านละ 13 เซนติเมตร อยู่ ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก ข ค ง
  3. ใช้จุด ฉ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี ฉ ค 13 เซนติเมตร เขียนส่วนโค้ง ของวงกลมจากจุด ค ไปยังจุด จ
  4. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก ช ซ จ ยาวด้านละ 8 เซนติเมตร จากรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า ก ข ฉ จ 
  5. ใช้จุด ซ เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี จ ซ เขียนส่วนโค้งของวงกลมจากจุด จ ไปยังจุด ช
  6. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ช ข ต ด ยาวด้านละ 5 เซนติเมตร จากรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า ช ข ฉ ซ
  7. ใช้จุด ด เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี ด ช เขียนส่วนโค้งของวงกลมจากจุด ช ไปยังจุด ต
  8. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ต ฉ ท ถ ยาวด้านละ 3 เซนติเมตร จากรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า ต ฉ ซ ด
  9. ใช้จุด ถ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี ถ ต เขียนส่วนโค้งของวงกลมจาก จุด ต ไปยังจุด ท
  10. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ท ซ ธ น ยาวด้านละ 2 เซนติเมตร จากรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า ท ซ ด ถ
  11. ใช้จุด น เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี น ท เขียนส่วนโค้งของวงกลมจาก จุด ท ไปยังจุด ธ
  12. สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด บ ป ธ ยาวด้านละ 1 เซนติเมตร จากรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด ถ น ธ (ในขั้นนี้จะเหลือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส บ ถ น ป ยาวด้านละ 1 เซนติเมตร เป็นรูปสุดท้าย)
  13. ใช้จุด ป เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี ป ธ เขียนส่วนโค้งของวงกลมจาก จุด ธ ไปยังจุด บ
ส่วนโค้งของวงกลมที่เริ่มต้นจากจุด ค ไปจนถึงจุด บ จะเป็นเส้นโค้งก้น หอยแบบมีมุมเท่ากัน
จากวิธีการนี้จะเห็นได้ว่าเรามีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีความยาวของแต่ละ ด้านเรียงกันดังนี้

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

แต่ละพจน์ของอันดับนี้ ได้จากผลบวกของสองพจน์ ซึ่งอยู่ข้างหน้าติด กับพจน์นั้นมาบวกกัน เช่น

2 = 1+1, 3 = 1+2, 5 = 2+3, 8 = 3+5, 13 = 5+8, 21 =8+13

โดยหลักเกณฑ์นี้ เราก็จะเขียนพจน์ต่อไปได้เรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด นักคณิต ศาสตร์เรียกจำนวนที่เรียงกันไปตามกฎเกณฑ์เช่นนี้ว่า อันดับฟิโบนักชี (Fibonacci sequence) ของจำนวน จากความรู้ที่ได้นี้ ท่านจะเขียนเส้นโค้งก้นหอยให้มีขนาดใหญ่ขึ้น โดยสร้างจัตุรัส ที่มีความยาวของแต่ละด้านเป็นเลขในอันดับฟิโบนักชีต่อไปได้เรื่อยๆ
ในธรรมชาติ เราอาจจะสังเกตเห็นลวดลายของหอยหลายชนิด ลวดลายของดอกไม้บางประเภท และลวดลายของตาสับปะรด เป็นต้น มีลักษณะคล้ายกับเส้นโค้งก้นหอยสองชุดตัดกัน


กระดาษกราฟที่จะใช้สำหรับวิธีที่จะกล่าวนี้ มีลักษณะเป็นวงกลมที่มี จุดศูนย์กลางร่วมกันหลายๆ วง และเส้นรังสีที่ออกจากจุดศูนย์กลางทำมุมขนาดต่างๆ กัน เราเรียกกระดาษกราฟแบบนี้ว่า กระดาษกราฟโพลาร์ (Polar graph)





วิธีเขียนเส้นโค้งโดยวัดความยาวของรังสีจากจุดคงที่จุดหนึ่ง และมุมที่รังสีกระทำเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่งนี้ เป็นวิธีที่นักวิทยาศาสตร์สามารถตรวจสอบได้ว่า ทางเดินของดวงดาวต่างๆ ตลอดจนทางเดินของดาวบริวารที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้น จะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งแบบไหน และสามารถบอกตำแหน่งได้ทุกเวลาด้วย
หัวข้อก่อนหน้า หัวข้อถัดไป