สารานุกรมไทย
สำหรับเยาวชน เมนู 6
เล่มที่ ๖
เรื่องที่ ๑ คณิตศาสตร์เบื้องต้น
เรื่องที่ ๒ ประวัติ และพัฒนาการเกี่ยวกับจำนวน
เรื่องที่ ๓ เซต
เรื่องที่ ๔ ตรรกวิทยา
เรื่องที่ ๕ ฟังก์ชัน
เรื่องที่ ๖ สมการ และอสมการ
เรื่องที่ ๗ จุด เส้น และผิวโค้ง
เรื่องที่ ๘ ระยะทาง
เรื่องที่ ๙ พื้นที่
เรื่องที่ ๑๐ ปริมาตร
เรื่องที่ ๑๑ สถิติ
เรื่องที่ ๑๒ ความน่าจะเป็น
เรื่องที่ ๑๓ เมตริก
เรื่องที่ ๑๔ กราฟ
เรื่องที่ ๑๕ คณิตศาสตร์ ธรรมชาติ และศิลปะ
รายชื่อผู้เขียน

สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ / เล่มที่ ๖ / สมการและอสมการ / สมการและอสมการ

สมการและอสมการ
บางทีเราพบโจทย์บางประเภท เช่น "ชาวนาคนหนึ่งเลี้ยงหมูและไก่ ถ้านับหัวของสัตว์เหล่านี้จะได้ 20 หัว ถ้านับขาจะได้ 50 ขา ถามว่า เขามีหมูและไก่อย่างละกี่ตัว "

ถ้าให้ x แทนจำนวนหมู และ y แทนจำนวนไก่ เราจะได้สมการ 2 สมการคือ

x + y = 20 (จำนวนหัว)
4x + 2y = 50 (จำนวนขา)

เราต้องการหาค่าของ x และ y ซึ่งเมื่อนำไปแทนในสมการทั้งสองแล้วจะได้ข้อความจริงทั้งคู่ ในกรณีนี้ ถ้าแทน x ด้วย 5 และแทน y ด้วย 15 ในสมการทั้งคู่ จะได้ข้อความจริง เราจึงพูดว่า (5, 15) เป็นคำตอบของ ระบบสมการ (system of equations) ข้างต้น สมการทั้งสองเป็นสมการเชิงเส้นทั้งคู่ เราจึงเรียก ระบบสมการนี้ว่า ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations)

ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้หลายวิธี แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบ สมการด้วยวิธีเขียนกราฟ

คำตอบ (5, 15) สำหรับระบบสมการในโจทย์ปัญหาเรื่องชาวนากับสัตว์ เลี้ยง หาได้จากกราฟ ดังนี้
เขียนกราฟของสมการทั้งสองจะได้เส้นตรง 2 เส้น ทุกจุดบนเส้นตรงสีน้ำ เงินเป็นคำตอบของสมการ x + y = 20 ทุกจุดบนเส้นตรงสีแดง เป็นคำตอบของ สมการ 4x + 2y = 50 จุดตัดคือ (5, 15) จึงเป็นคำตอบของสมการทั้งคู่พร้อมๆ กันและเป็นคำตอบของระบบสมการนี้
เราจึงสรุปได้ว่า ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้น ที่มีตัวแปร 2 ตัว 2 สมการ อาจมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองตัดกัน  หรือไม่มีคำตอบเลยในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองขนานกัน หรือมีคำตอบมากมายแจก แจงไม่หมดในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองทับกัน

แม้ว่าระบบสมการที่มีตัวแปรไม่เกิน 2 ตัว จะไม่ใช่ระบบสมการเชิงเส้น เราก็อาจแก้ไขได้โดยวิธีเขียนกราฟ เช่น  

ระบบสมการเชิงเส้น
x2 + 4y2 = 4
y = x2 - 2
มีคำตอบ 4 คำตอบ ค่าโดยประมาณคือ
(-1.1,-.8), (1.1,-8), (-1.6,.6), (1.6,.6)

สมการที่น่าสนใจประเภทหนึ่ง คือ สมการที่ต้องการคำตอบเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็ม หรือจำนวนตักยะ สมการประเภทนี้เรียกว่า สมการไดโอแฟนทีน (Diophantine equations) ซึ่งเป็นชื่อที่ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ ไดโอแฟนทัส *(Diophantus)
* ไดโอแฟนทัสมีชีวิตอยู่ในสมัยประมาณ 250 ปี ก่อนคริสต์ศักราช เป็นชาวเมืองอเล็กซานเดรีย เราไม่ค่อยทราบรายละเอียดเกี่ยวกับชีวิตของเขามากนัก แต่อาจจะคำนวณอายุของเขาได้จากคำซึ่งเล่ากันต่อๆ มาดังนี้

เขาเป็นเด็กอยู่ ของอายุของเขา เป็นวัยรุ่นอยู่ 1/12 ของอายุ เป็นชายโสดอยู่ 1/7 ของอายุ ลูกชายของเขาเกิดเมื่อเขาแต่งงานแล้ว 5 ปี ลูกชายตายก่อนเขา 4 ปี เขามีอายุยืนเป็น 2 เท่าของลูกชาย (คำตอบคือ 84 ปี)
ตัวอย่างของโจทย์ปัญหาประเภทนี้คือ "มีส้มอยู่จำนวนหนึ่ง ถ้าจะแบ่งให้คน 5 คนๆ ละ เท่าๆ กัน จะขาดส้ม 1 ผล ถ้าจะแบ่งให้คน 7 คนๆ ละเท่าๆ กันก็จะขาด 1 ผล ถามว่ามีส้มอยู่เท่าไร"

ถ้าสมมุติว่า มีส้มอยู่ n ผล เราจะได้ว่า n+1 หารด้วย 5 ลงตัว และหารด้วย 7 ก็ลงตัว นั่นคือ n+1 = 5x และ n+1 = 7y เมื่อ x และy แทนจำนวนเต็มบวก

เราจึงต้องแก้สมการ 5x = 7y เมื่อ x และ y แทนจำนวนเต็มบวก

จะเห็นว่า สมการนี้มีคำตอบมากมายได้แก่ (7,5), (14,10), (21,15), (28,20), (35,25), (42,30),... คำตอบเหล่านี้ให้ค่า 5x (หรือ 7y) เป็น 35, 70, 105, 140, 175, 210,... ตามลำดับ ดังนั้นค่าของ n ที่ต้องการคือ 34, 69, 104, 139, 174, 209,...

ถ้าโจทย์ถามเพิ่มเติมว่า จำนวนส้มน้อยที่สุดเป็นเท่าไร จึงจะมีลักษณะตามที่ต้องการ ก็จะได้คำตอบ 34

สมการไดโอแฟนทีนมีอยู่มากมายหลายประเภท สมการไดโอแฟนทีน ที่มีชื่อเสียงมากสมการหนึ่งคือ สมการ x2 + y2 = z2 ซึ่งเราเรียกกันว่า สมการ ปีทาโกเรียน (Pythagorean equation) ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่ ปีทาโกรัส* (Pythagorus) การหาคำตอบที่เป็นจำนวนบวกของสมการนี้ก็คือ การหาความยาว ที่เป็นจำนวนเต็มของด้านทั้งสาม ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง คำตอบที่เราทราบ กันดีคือ x=3, y=4, z=5 ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า (3,4,5) สมการ ปีทาโกเรียนนี้มีคำตอบมากมายนับได้ไม่หมด คำตอบทั้งหลายหาได้จากสูตร ต่อไปนี้ คือ

x = a2 - b2,y = 2ab และ z = a2 + b2 เมื่อ a และ b แทนจำนวน เต็ม เช่น ถ้าให้ a=2 และ b = 1 เราจะได้คำตอบ (3,4,5) ถ้าให้ a = 3 และ b = 2 เราจะได้คำตอบ (5,12,13) ถ้าให้ a = 3 และ b = 1 เราจะ ได้คำตอบ (8,6,10) เป็นต้น
* ปีทาโกรัส เป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกมีชีวิตอยู่ระหว่างปี 582 - 507 ปีก่อนคริสต์ศักราช ทฤษฎีบทของเขาซึ่งเรารู้จักกันดี คือทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่กล่าวว่า กำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ย่อมเท่ากับผลบวกของ กำลังสองของความยาวอีกสองด้าน
เรากล่าวได้ว่าสมการปีทาโกเรียนนั้น เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ เพราะเรามีวิธีหาคำตอบทั้งหมดได้

สมการไดโอแฟนทีนที่มีตัวแปร 2 ตัว และเป็นการเชิงเส้น เช่น 5x = 7y, 6x + 15y = 12 ฯลฯ เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ แต่สมการ ไดโอแฟนทีนส่วนใหญ่ยังไม่ทราบคำตอบอย่างสมบูรณ์ บางสมการยังไม่ทราบ เลยด้วยซ้ำไปว่ามีคำตอบหรือไม่ เช่น สมการ xn + yn = zn เมื่อn เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งมากกว่า 2 สมการนี้ไม่มีใครทราบเลยว่ามีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่

แฟร์มาต์* ทำนายไว้ว่า "สมการ xn + yn = zn ไม่มีคำตอบเป็นจำนวน เต็มบวก เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2" ข้อความนี้เขียนได้อีกอย่างหนึ่ง ว่า "ไม่ว่า x, y, z, n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 แล้ว จะได้ว่า xn + yn zn" ข้อความนี้เรียกกันว่า ทฤษฏีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (Fermat's Last Theorem) ในระยะเวลา 300 กว่าปีที่ผ่านมานี้ นักคณิตศาสตร์ หลายคนพยายามพิสูจน์ข้อความนี้ และมีผู้ค้นพบข้อความนี้เป็นข้อความจริง สำหรับหลายค่าของ n เช่น มีผู้พิสูจน์ได้ว่า "ไม่ว่า x,y,z,n จะเป็นจำนวนเต็ม บวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 และน้อยกว่า 100 แล้ว จะได้ว่า xn + yn zn" แต่จนบัดนี้ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เป็น ข้อความจริงหรือเท็จ
* แฟร์มาต์ (ค.ศ. 1601 - 1665) เป็นชาวฝรั่งเศส อาชีพรับราชการ งานอดิเรกคือ คณิตศาสตร์ ถือได้ว่าเป็นคนหนึ่งที่ริเริ่มเรขาคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัส แต่ปัจจุบันคนรู้จัก เขามากจากผลงานของเขาเรื่องทฤษฎีของจำนวน (Theory of Numbers)


(1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่งมาบวกหรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย ซึ่ง แสดงความไม่เท่ากัน อสมการใหม่จะมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม
(2) ถ้านำจำนวนบวกมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดง ความไม่เท่ากัน อสมการใหม่จะมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม
(3) ถ้านำจำนวนลบมาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดงความมาก กว่า อสมการใหม่ซึ่งมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม จะต้องเชื่อมด้วยเครื่องหมาย ที่แสดงความน้อยกว่า
(4) ถ้านำจำนวนลบ มาคูณหรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมายซึ่งแสดง ความน้อยกว่า อสมการใหม่ซึ่งมีคำตอบเหมือนอสมการเดิม จะต้องเชื่อมด้วย เครื่องหมายที่แสดงความมากกว่า



อสมการอาจมีตัวแปรมากกว่า 1 ตัวแปรก็ได้ และวิธีแก้อสมการที่มี ตัวแปรไม่เกิน 2 ตัวแปรเราสามารถใช้วิธีกราฟได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้


เราอาจจะใช้วิธีกราฟ แก้ระบบอสมการได้ ดังต่อไปนี้



ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการแก้ปัญหาระบบอสมการเชิงเส้นที่มีเงื่อนไข เพิ่มเติมบางอย่าง

สวนขนัดหนึ่งมีพื้นที่สำหรับปลูกทุเรียนได้ 30 ต้น เจ้าของสวนต้องการ ปลูกทุเรียน 2 พันธุ์คือ ชะนี และ รวง การปลูกใช้กิ่งทาบ ชะนีราคากิ่งละ 25 บาท รวงราคากิ่งละ 10 บาท ชะนีจะให้ผลในเวลา 7 ปี รวงให้ผลในเวลา 5 ปี ชะนี ให้ผลประมาณ 25 ผลต่อต้น ส่วนรวงให้ผลประมาณ 50 ผลต่อต้น ชะนีขายได้ โดยเฉลี่ยผลละ 45 บาท รวงขายได้โดยเฉลี่ยผลละ 20 บาท หลังจากทุเรียนให้ ผลเต็มที่แล้ว ชาวสวนต้องการมีรายได้ประจำปีจากการขายทุเรียนมากที่สุด เขาควรปลูกทุเรียนอย่างละกี่ต้น ถ้าเขามีงบประมาณค่าซื้อกิ่งเพียง 500 บาท  



ภายใต้เงื่อนไขสองข้อนี้ เขาต้องการให้รายได้ประจำปีสูงสุด ชะนีจะให้ รายได้ต้นละ 1,125 บาทต่อปี รวงจะให้รายได้ต้นละ 1,000 บาทต่อปี ดังนั้น หลังจากที่ทุเรียนทุกต้นให้ผลเต็มที่แล้ว เขาจะมีรายได้ 1125x + 1000y บาท ต่อปี
ฉะนั้น เราต้องการหาค่า x และ y ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้อ (1) และข้อ (2) และทำให้ 1125x + 1000y มีค่าสูงสุดด้วย นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขที่ละไว้ ในฐานที่เข้าใจอีกด้วยว่า x และ y ต้องแทนจำนวนเต็มซึ่งไม่น้อยกว่า 0 เนื่องจาก x และ y แทนจำนวนต้นไม้
ถ้าปริมาณๆ หนึ่ง ตัวแปรที่ปรากฏในปริมาณนั้นมีเลขชี้กำลังเป็น 1 และ ตัวแปรไม่คูณกันเลย การหาคำตอบซึ่งทำให้ปริมาณนั้นมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ภาย ใต้เงื่อนไขที่เขียนได้ในรูปอสมการเชิงเส้น เราเรียกว่า กำหนดการเชิงเส้น

ปัจจุบันมีตำรามากมายเกี่ยวกับกำหนดการเชิงเส้น และในตำราเหล่านั้น ได้บอกวิธีแก้ปัญหาหลายวิธี ในที่นี้เราจะใช้วิธีเขียนกราฟ ดังต่อไปนี้


ฉะนั้น คำตอบของระบบอสมการ (1) และ (2) จะอยู่ในบริเวณ รูปสี่เหลี่ยม OAEC ในบรรดาคำตอบเหล่านี้ เราจะต้องหาคำตอบที่ทำให้ 1125x +1000y มีค่าสูงสุด คำตอบเหล่านี้จะต้องให้ค่า x และ y เป็นจำนวนเต็ม ทั้งคู่ด้วย

ถ้าไม่คิดอะไรเลย เราก็อาจจะหาคำตอบนั้นได้ดังนี้ หาจุดทั้งหมดในบริเวณสี่เหลี่ยม OAEC ซึ่งมีทั้ง x และ y เป็นจำนวนเต็ม (มีอยู่ไม่เกิน 600 จุด) หาค่า 1125x + 1000y ของแต่ละจุด จุดที่ให้ค่ามากสุดคือ คำตอบที่ต้องการ

แต่ถ้าเราใช้ความคิดเพียงเล็กน้อย เราก็จะไม่ต้องพิจารณาจุดทั้งหมดใน บริเวณดังกล่าว เพราะจุดสองจุดใดๆ ซึ่งอยู่ในแนวนอนแนวเดียวกัน (ค่า y เท่า กัน) จุดทางขวา (ค่า x มากกว่า) จะให้ค่า 1125x + 1000y มากกว่าจุดทางซ้าย ในทำนองเดียวกัน จุดสองจุดใดๆ ซึ่งอยู่ในแนวตั้งแนวเดียวกัน (ค่า x เท่ากัน) จุดที่อยู่เหนือ (ค่า y มากกว่า) จะให้ค่า 1125x + 1000y มากกว่า ดังนั้นจุดที่จะ ให้ค่า 1125x + 1000y มากๆ ควรจะเป็นจุดที่อยู่บนขอบ AE และ EC หรือจุดที่อยู่ ใกล้ๆ ขอบทั้งสองนี้เท่านั้น จุดเหล่านี้แสดงไว้ในกราฟ

นอกจากนี้ เรายังสังเกตได้อีกว่า ถ้าพิจารณาจุด (x,y) จุดหนึ่งในบรรดา จุดเหล่านี้บนเส้น AE เช่น (5,25) จุดที่อยู่ถัดไปทางขวาคือจุด (x + 1, y - 1) จะให้ค่า 1125x + 1000y มากกว่า ดังนั้น ในบรรดาจุดเหล่านี้ที่อยู่บน AE จุด (13,17) ซึ่งอยู่ขวาสุด จะให้ค่า 1125x + 1000y มากที่สุด

ดังนั้นเราคำนวณค่า 1125x + 1000y ของจุดต่างๆ ที่เหลือ แล้วนำมาเทียบ กับค่าที่ได้จากจุด (13,17) ดังนี้



เราสรุปได้ว่า จุด (13,17) ให้ค่า 1125x + 1000y สูงสุด นั่นคือ ชาวสวน ควรจะปลูกชะนี 13 ต้น และปลูกรวง 17 ต้น จึงจะได้รายได้ประจำปีสูงสุด



ถ้าชาวสวนต้องการรายได้ภายใน 10 ปีสูงสุด เขาจะต้องหาค่า x และ y ซึ่งทำให้ (3 x 45 x 25X) + (5 x 20 x 50y) หรือ 3375X + 5000y สูงสุด คำตอบ จะเป็น (0,30) นั่นคือ เขาต้องปลูกรวงหมดทั้งหมดทั้งสวนในกรณีนี้  

กำหนดการเชิงเส้นนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชาวิจัยปฏิบัติการ (Operations Research) ซึ่งมีประโยชน์มาก สำหรับการวางแผน ในวงการต่างๆ เช่น เกษตรกรรม อุตสาหกรรม การขนส่ง ปัจจุบันวิชานี้มีสอนในระดับอุดมศึกษาของสถาบันหลายแห่ง ในประเทศไทย
หัวข้อก่อนหน้า