สารานุกรมไทย
สำหรับเยาวชน เมนู 6
เล่มที่ ๖
เรื่องที่ ๑ คณิตศาสตร์เบื้องต้น
เรื่องที่ ๒ ประวัติ และพัฒนาการเกี่ยวกับจำนวน
เรื่องที่ ๓ เซต
เรื่องที่ ๔ ตรรกวิทยา
เรื่องที่ ๕ ฟังก์ชัน
เรื่องที่ ๖ สมการ และอสมการ
เรื่องที่ ๗ จุด เส้น และผิวโค้ง
เรื่องที่ ๘ ระยะทาง
เรื่องที่ ๙ พื้นที่
เรื่องที่ ๑๐ ปริมาตร
เรื่องที่ ๑๑ สถิติ
เรื่องที่ ๑๒ ความน่าจะเป็น
เรื่องที่ ๑๓ เมตริก
เรื่องที่ ๑๔ กราฟ
เรื่องที่ ๑๕ คณิตศาสตร์ ธรรมชาติ และศิลปะ
รายชื่อผู้เขียน

สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ / เล่มที่ ๖ / ความน่าจะเป็น / กำเนิดของวิชาความน่าจะเป็น

กำเนิดของวิชาความน่าจะเป็น
กำเนิดของวิชาความน่าจะเป็น

เมื่อ พ.ศ. 2197 ซึ่งตรงกับสมัยพระเจ้าปราสาททองแห่งกรุงศรีอยุธยา ทางประเทศฝรั่งเศสได้มีนักพนันที่มีชื่อเสียงผู้หนึ่งชื่อ เชอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de mere) ได้ประสบปัญหาในการพนันที่เกี่ยวกับการทอดลูกเต๋า เขาไปปรึกษากับนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่สมัยนั้น คือ ปาสกาล ซึ่งจากคำอธิบายของปาสกาลนี้เอง ที่ทำให้โลกได้จารึกจุดเริ่มต้นของวิชาความน่าจะเป็นไว้ ในที่นี้จึงจะขอกล่าวถึงปัญหาเริ่มแรกทั้งสองนี้

ปัญหาที่ 1 การทอดลูกเต๋า 1 ลูกและ 2 ลูก

ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง เชอวาลิเยร์พนันว่า ลูกเต๋าจะต้องหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง และเมื่อทอดลูกเต๋าได้ 4 ครั้ง ก็ปรากฏว่า เป็นจริงตามที่พนันไว้ เขาจึงพนันต่อไปว่า ถ้าทอดลูกเต๋า 2 ลูก 24 ครั้ง ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกทั้ง 2 ลูก อย่างน้อย 1 ครั้ง แต่เมื่อ ทอดครบ 24 ครั้ง ปรากฏว่า ไม่จริง ปาสกาลได้อธิบายให้ทราบดังนี้

ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกคือ 1/6
ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าอื่นคือ 5/6
การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง นั้นคือ
การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจำนวน 1 ครั้งใน 4 ครั้ง
หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจำนวน 2 ครั้งใน 4 ครั้ง
หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจำนวน 3 ครั้งใน 4 ครั้ง
หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจำนวน 4 ครั้งใน 4 ครั้ง

การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้งนั้น เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นแน่ คือ การที่ลูกเต๋าไม่หงายหน้าหกเลย เพราะหงายหน้าอื่น หรือหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง

ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าไม่หงายหน้าหกเลย รวมกับความน่าจะเป็น ที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง จึงมีค่าเท่ากับ 1 ตามที่กล่าวแล้วในตอน แรก นั่นคือ

ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง = 1 - ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋า ไม่หงายหน้าหกเลย
= 1-(5/6)4 = 0.516

จะสังเกตเห็นว่าค่า 0.516 นี้เกินครึ่ง จึงแสดงว่าโอกาสที่ลูกเต๋าหงายหน้าหก อย่างน้อย 1 ครั้งมีมาก ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง เชอวาลิเยร์จึงมีโอกาส ชนะมากกว่าและเผอิญเขาโชคดีจึงชนะในครั้งนั้น ตามปกติเขาจะไม่ชนะทุกครั้งไป

เมื่อเชอวาลิเยร์พนันต่อไปว่า ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 24 ครั้ง หน้าหก จะต้องหงายพร้อมกันอย่างน้อย 1 ครั้งนั้น ปาสกาลอธิบายว่า ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก ลูกเต๋าจะหงายได้ 36 วิธี คือ ลูกที่ 1 หงายหน้าหนึ่งและลูกที่ 2 หงายหน้า หนึ่งหรือลูกที่ 1 หงายหน้าใดๆ ก็ได้ ตั้งแต่หน้าหนึ่งถึงหกและลูกที่ 2 หงายหน้า ใดๆ ก็ได้ ตั้งแต่หน้าหนึ่งถึงหน้าหกเช่นกัน 
ทำนองเดียวกันกับในตอนแรก ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกทั้ง 2 ลูกอย่างน้อย 1 ครั้ง คือ 1-(35/36)24 = 0.491 ซึ่งไม่ถึงครึ่ง และน้อยกว่าค่าที่ได้ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง ประกอบกับเขาโชคไม่ดีในการพนันครั้งนี้ ลูกเต๋าทั้ง 2 จึงไม่หงายหน้าหกพร้อมกันเลย ทั้งๆ ที่ถ้าเขาทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง เรื่อยๆ ไป เขาจะต้องได้ลูกเต๋า ทั้ง 2 หงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง

ปัญหาที่ 2 การแบ่งรางวัลในเกมที่ต้องหยุดเล่นก่อนกำหนด


ในเกมที่มีผู้เล่น 2 คน แต่ละคนมีโอกาสที่จะชนะเท่าๆ กัน ทั้งสองตกลงกันว่า ผู้ที่ชนะ 5 เกมเป็นคนแรก จะเป็นผู้ชนะในที่สุด แต่ปรากฏว่า เมื่อคนแรก ชนะได้ 4 เกม และคนที่ 2 ชนะได้ 3 เกม ก็จำต้องหยุดเล่น จึงเกิดปัญหาว่า จะแบ่งรางวัลอย่างไร จึงจะยุติธรรม ปาสกาลได้อธิบายวิธีแบ่งโดยอาศัยหลักความน่าจะเป็นดังนี้
เพื่อให้โอกาสที่ทั้งสองจะชนะได้ จึงควรพิจารณาว่า ถ้าทั้งสองเล่นต่ออีก 2 เกม เพราะคนที่ 2 ชนะแล้ว 3 เกม ผลที่ได้มี 4 อย่าง คือ

1. คนที่ 1 ชนะทั้ง 2 เกม
2. คนที่ 2 ชนะทั้ง 2 เกม
3. คนที่ 1 ชนะเกมที่ 1 และคนที่ 2 ชนะเกมที่ 2
4. คนที่ 1 ชนะเกมที่ 2 และคนที่ 2 ชนะเกมที่ 1

จะเห็นว่าคนที่ 2 จะมีโอกาสเป็นผู้ชนะเลิศก็ต่อเมื่อ เขาต้องเป็นผู้ชนะอีกทั้ง 2 เกม ซึ่งจะมีโอกาสเพียง 1 ใน 4 เท่านั้น แต่โอกาสที่คนที่ 1 จะเป็นผู้ชนะ มีถึง 3 ใน 4 ฉะนั้นเมื่อต้องหยุดเล่นก่อนกำหนด คนที่ 1 จึงมีโอกาสได้รางวัล 3 ส่วน และคนที่ 2 ได้เพียง 1 ส่วน เพราะโอกาสที่คนที่ 1 จะชนะมีเป็น 3 เท่า ของคนที่ 2
หัวข้อก่อนหน้า หัวข้อถัดไป