การบวกเมตริกคืออะไร
การคูณเมตริกด้วยค่าคงที่คืออะไร
การคูณเมตริกกับเมตริกคืออะไร
คุณสมบัติของการคูณเมตริกคืออะไร
การบวกเมตริกคืออะไร
[ ขยายดูภาพใหญ่ ]
เมตริกสองเมตริกที่เป็นเมตริกแบบเดียวกันซึ่งมีจำนวนแถวเท่ากันคือ m และจำนวนสดมภ์เท่ากันคือ n จะบวกเข้าด้วยกันได้ และได้ผลบวกเป็นเมตริก ที่มี m แถว และ n สดมภ์เช่นเดียวกัน กล่าวคือ
 
ถ้า
  A = (aij)m x n
      B = (bji)m x n
จะได้ว่า A+B = C = (cj)m x n
 
โดย
  Cij = aij + bij
ซึ่งจะเห็นได้ชัดเจนจากตัวอย่างต่อไปนี้ คือ
ถ้า A = 0 1 2
      5 2 -3
และ B = 1 1 -2
      4 0 0
จะหาเมตริกผลบวก A + B ได้โดย
A + B =
0 + 1 1 + 1 2 + (-2)
5 + 4 2 + 0 -3 + 0
  =
1 2 0  
  9 2 -3  
การบวกเมตริกมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับคุณสมบัติของการบวกจำนวน กล่าวคือ ถ้า A,B,C เป็นเมตริก mxn จะได้ว่า
(1) A + B = B + A กฎการสลับที่
(2) (A + B) + C = A + (B + C) กฎการจัดหมู่
(3) ถ้า Z เป็นเมตริกศูนย์ m x n จะได้ว่า
Z + A = A + Z = A
เมตริกศูนย์เป็นเอกลักษณ์สำหรับการบวกเมตริก อาจจะใช้ 0 แทนเมตริกศูนย์ก็ได้
การคูณเมตริกด้วยค่าคงที่คืออะไร
[ ขยายดูภาพใหญ่ ]
สำหรับเมตริกใด ๆ เมื่อคูณกับค่าคงที่จะได้ผลคูณเป็นเมตริกที่มีจำนวนแถว และจำนวนสดมภ์เท่าเดิม แต่มีสมาชิกใหม่ซึ่งเป็นผลคูณของสมาชิกเดิมกับค่าคงที่ นั้น นั่นคือ
ถ้า A = (aij)m x n และ c เป็นค่าคงที่
จะได้ cA = (caij)m x n  
นั่นคือ cA เป็นเมตริกที่มีค่าของแต่ละสมาชิกเป็น c เท่าของสมาชิก ของ A ดังตัวอย่าง
 
I
=
 
1 0  
 
0 1  
 
2I
=
2
1 0  
 
 
0 1  
หรือ
2I
=
 
2 0  
 
0 2  
หรือถ้า
A
=
 
2 1 1
 
-1 0 3
จะได้
3A
=
 
6 3 3
 
-3 0 9
ถ้าตัวคูณเป็นจำนวนลบ เช่น -2/3 ก็จะได้
-2/3 A = 4/3 - 2/3 -2/3
    2/3
0
-2
การคูณเมตริกกับเมตริกคืออะไร
[ ขยายดูภาพใหญ่ ] เราสามารถหาผลคูณของสองเมตริก ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ถ้า A
=
(1 2 3) เป็นเมตริก 1 x 3
และ B
=
4 เป็นเมตริก 3 x 1
5
6
เราจะได้ผลคูณของ A และ B คือ AB โดย
  AB
=
(1 2 3)
4
       
5
       
6
   
=
((1)(4) + (2)(5) + (3)(6))
    = (32) ฉะนั้น AB เป็นเมตริก 1 x 1
ถ้า A = (1 2 3) เป็นเมตริก 1 x 3
  C = 4 7 เป็นเมตริก 3 x 2
      5 8
      6 9
ผลคูณของ A และ C เป็นเมตริก AC โดย
AC =
(1 2 3)
    4
7
 
            5
8
            6
9
  =
((1)(4)+(2)(5)+(3)(6)
 
(1)(7)+(2)(8)+(3)(9)
  = (32 50)
  เป็นเมตริก 1 x 2
ถ้า D = 1 2 เป็นเมตริก 2 x 2
    3 4            
E = 5 7 เป็นเมตริก 2 x 2
    6 8  
ผลคูณของ D และ E เป็นเมตริก DE โดย
DE =
1 2
5
7    
   
3 4
6
7    
  =
(1)(5) + (2)(6)
(1)(7) + (2)(8)
   
(3)(5) + (4)(6)
(3)(7) + (4)(8) 
  =
17
23          
   
39
53          
จะเห็นว่า A เป็นเมตริก 1 x 3 B เป็นเมตริก 3 x 1 หาผลคูณได้ และผลคูณ AB เป็นเมตริก 1 x 1 A เป็นเมตริก 1 x 3 C เป็นเมตริก 3 x 2 หาผลคูณได้ และผลคูณ AC เป็นเมตริก 1 x 2 D เป็นเมตริก 2 x 2 E เป็นเมตริก 2 x 2 หาผลคูณได้ และผลคูณ DE เป็นเมตริก 2 x 2
คุณสมบัติของการคูณเมตริกคืออะไร
[ ขยายดูภาพใหญ่ ]
ถ้า A,B,C เป็นเมตริก ซึ่งทำให้การคูณที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้เป็นไปได้ จะพบว่าการคูณเมตริกมีคุณสมบัติบางประการ ต่างจากการคูณจำนวนดังจะกล่าว ต่อไปนี้ คือ
1. โดยทั่ว ๆ ไปแล้วผลคูณ ABไม่เท่ากับBA คือ การคูณไม่เป็นไปตาม กฎของการสลับที่ ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้
A และ B เป็นเมตริกจัตุรัส 2 x 2 ทั้งคู่ คือ
ถ้า A = 2 1         b = 1 1    
      3 2             2 1  
  AB = 2 1 1 1   = 4 3    
      3 2 2 1     7 5    
แต่ BA = 1 1 2 1   = 5 3 ไม่เท่ากับ AB
      2 1 3 2     7 4
ในกรณีที่ A และ B เป็นเมตริกจัตุรัส n x n ด้วยกัน ผลคูณ AB และ BA จะเป็นไปได้เสมอ แต่อาจจะมีค่าไม่เท่ากัน ยกเว้นเมื่อ A และ B เป็นเมตริกบางชนิด ซึ่งผู้อ่านจะศึกษาเพิ่มเติมได้ในตำราเกี่ยวกับเมตริก หรือในกรณีที่ A เป็นเมตริก เอกลักษณ์ I(nxn) จะได้ผลคูณ IB = BI = B เสมอ เช่น
I
=
1 0 0
,
B
=
1 2 3
0 1 0 4 5 6
0 0 1 7 8 9
จะได้ว่า IB = BI = B
เมตริกเอกลักษณ์ I จึงมีคุณสมบัติเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ เช่นเดียวกับ เลข "1" ในระบบจำนวน
2. A(BC) = (AB)C นั่นคือ การคูณระหว่างเมตริก เป็นไปตามกฎการจัดหมู่
3. A(B +C) = AB + AC และ (B + C) A = BA + CA นั่นคือ การคูณเมตริก เป็นไปตามกฎของการกระจาย
4. ถ้า AB = 0 (เมตริกศูนย์) A หรือ B ไม่จำเป็นต้องเป็นเมตริกศูนย์ แต่ในการคูณจำนวน x และ y ถ้า xy = 0 แล้วจะต้องได้ว่า x หรือ y เป็นศูนย์ ดังตัวอย่างผลคูณที่เป็นเมตริกศูนย์
ถ้า A =
-2
1
และ B = 2 3
2
-1
4 6
ทั้ง A และ B ไม่ใช่เมตริกศูนย์ เมื่อหาผลคูณ AB จะได้
AB =
-2
1
2 3 = 0 0
2
-1
4 6 0 0
เป็นเมตริกศูนย์
ความรู้เกี่ยวกับเมตริกเป็นรากฐานที่สำคัญยิ่งในคณิตศาสตร์ และใน สาขาวิชาอื่น ๆ ทั้งทางวิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ เป็นพื้นความรู้ที่ ให้ประโยชน์มาก ในที่นี้จะพูดถึงประโยชน์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มี จำนวนสมการและจำนวนตัวแปรเท่ากันเป็นตัวอย่าง
ในการแก้สมการส่วนใหญ่จะสะดวกขึ้น ถ้าหากมีความรู้เรื่องเมตริก ผกผัน (inverse matrix) และการจะหาเมตริกผกผันได้วิธีหนึ่งต้องอาศัย ดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) ของเมตริกจัตุรัส
หัวข้อก่อนหน้า
.